Innehåll

• Steg
• Tips
• Varningar

Innan räknaren anlände var både elever och lärare tvungna att räkna kvadratrötter för hand. Flera metoder har utvecklats för att bättre hantera denna skrämmande process, några ger approximationer och andra ett mer exakt värde. För att lära dig att beräkna en kvadratrot för hand med enkla operationer, läs Steg 1 att börja.

Steg

Metod 1 av 2: Använd primfaktorisering

1. 

   Dela antalet genom perfekta kvadratfaktorer. Denna metod använder faktorerna för ett tal för att beräkna en kvadratrot (beroende på värdet kan det vara ett korrekt eller uppskattat svar). Du faktorer av ett nummer är vilken uppsättning andra som multiplicerar för att uppnå det. Du kan till exempel säga vad faktorerna är och varför. Perfekta kvadrater är å andra sidan heltal som härrör från multiplikationen mellan andra heltal. Värden och till exempel är perfekta rutor eftersom de kan representeras av respektive. De perfekta kvadratfaktorerna, som du kan föreställa dig, är också perfekta rutor. För att börja hitta kvadratroten genom primfaktorisering, minska värdena till dina perfekta kvadratfaktorer.
   • I ett exempel måste du beräkna kvadratroten på handen. För att börja, dela bara värdet i dina perfekta kvadratfaktorer. Eftersom det är en multipel av är det fortfarande känt att det är delbart med - en perfekt fyrkant. En snabb mental uppdelning får dig att se att det passar tider i talet, vilket tillfälligt också är en perfekt fyrkant. Därför kommer de perfekta kvadratfaktorerna att vara och varför.
   • Den första etappen av övningen kommer att skrivas som:

2. 

   
   
   Beräkna kvadratrötterna för de perfekta kvadratfaktorerna. Egenskapen för kvadratrotprodukten anger att för alla värden och data ,. På grund av detta är det nu möjligt att extrahera faktorernas kvadratrötter och multiplicera dem för att komma fram till svaret.
   • I exemplet i fråga extraheras kvadratrötterna till och enligt följande:

3. 

   
   
   Minska det resulterande värdet till de enklaste termerna, om det inte går att faktorera det perfekt. I praktiken är det osannolikt att siffrorna är perfekta och exakta med faktorer som också är perfekta rutor (som). I sådana fall är det kanske inte möjligt att komma med ett exakt helhetssvar. I stället, genom att bestämma de faktorer som kan vara perfekta kvadrater, kan du beräkna svaret baserat på en mindre, enklare och lättare att arbeta kvadratrot. Minska bara antalet till kombinationen av faktorer som är perfekta rutor med andra som inte är det. Förenkla sedan resultatet.
   • Antag att kvadratroten av används som ett exempel. Detta tal är inte produkten av två perfekta rutor, så det är inte möjligt att nå ett heltal som i föregående fall. Det är dock produkten mellan en perfekt kvadrat och ett annat nummer - e. Dessa data kommer att användas för att söka efter svaret i de enklaste termerna, enligt följande:

4. 

   
   
   Gör uppskattningar vid behov. Med kvadratroten i sina enklaste termer är det enklare att uppskatta ett numeriskt svar genom att ange värdet på de återstående kvadratrötterna och multiplicera lämpliga värden. Ett sätt att vägleda dig själv genom dessa uppskattningar är att hitta de perfekta rutorna bredvid siffran i kvadratroten. Du kommer att veta att decimalerna för det numret kommer att ligga mellan dessa två värden och därför blir det lättare att ange vad som finns mellan dem.
   • Återgå till exemplet och vara e kan du se att det ligger mellan e - och förmodligen närmare det större numret. När du uppskattar kommer du att upptäcka det. Kontrollera bara funktionen med hjälp av en miniräknare så märker du att du har kommit mycket nära det sanna svaret ().
     • Detta fungerar också i större antal. Det är till exempel möjligt att uppskatta att det är mellan och (troligen närmare det större antalet). Om e och är mellan båda värdena är det troligt att dess kvadratrot också är mellan och. Med tanke på att det är ett litet steg bort kan du med säkerhet säga att din kvadratrot är snart under värdet. När du utför beräkningen på en miniräknare når du resultatet - antagandet var korrekt.

5. 

   Först, minska antalet till din gemensamma multipla minimum. Det är inte nödvändigt att hitta faktorer som är perfekta kvadrater om du kan bestämma primfaktorerna för ett tal (det vill säga det är också primtal). Skriv värdet i fråga baserat på det gemensamma multipelminimumet. Leta sedan efter par primtal som matchar varandra. När du hittar två alternativ som uppfyller dessa krav, ta dem ur kvadratroten och placera dem a av dem utanför.
   • Som ett exempel kan du försöka hitta kvadratroten med den här metoden. Det är känt det och det. På grund av detta är det möjligt att skriva kvadratroten i termer av dess faktorer :. Ta bara de två närvarande i roten och placera en av dem på utsidan för att komma fram till de enklaste termerna :. Härifrån är det lätt att uppskatta.
   • Som ett sista exempel, försök att beräkna kvadratroten av:
     • 
       Här finns flera värden inuti kvadratroten - eftersom det är ett primtal, ta bara ett av paren och placera en av enheterna på utsidan.
     • Som ett resultat kommer kvadratroten i sina enklaste termer att vara eller. Härifrån kan du uppskatta värdena för och om du vill.

Metod 2 av 2: Beräkning av kvadratrötter manuellt

1. 

   Separera först mellanslag från antalet i par. Denna metod använder en process som liknar den långa uppdelningen för att beräkna kvadratroten exakt, ett hus i taget. Även om det inte är avgörande kanske du tycker att processen är lättare när den är organiserad visuellt och numret är uppdelat i delar. Det första du ska göra är att rita en vertikal linje som skiljer arbetsområdet i två regioner och sedan göra en mindre horisontell linje nära det övre högra hörnet för att ha en liten sektion längst upp och en stor längst ner. Nu, separera mellanslag från antalet i par som börjar med komma: att följa denna regel, till exempel, blir. Skriv värdet högst upp till vänster.
   • I ett exempel, försök att beräkna kvadratroten av. Gör två rader för att dela upp arbetsområdet som i föregående fall och skriv i den övre delen av det vänstra utrymmet, och oroa dig inte om det bara finns ett enda nummer till vänster istället för ett par. Du måste skriva svaret () i det övre högra området.

2. 

   Ta reda på vilket som är det största heltalet vars kvadrat är mindre än eller lika med antalet (eller antalet siffror) till vänster. Börja med den vänstra delen av ditt nummer, oavsett om det är ett par eller ett isolerat värde. Bestäm vilken som är den största perfekta kvadraten som är mindre än eller lika med det talet och ta dess kvadratrot: detta värde representeras av. Skriv ner det i det övre högra utrymmet och skriv ditt kvadrat i det nedre högra kvadranten.
   • I exemplet är delen längst till vänster numret. Eftersom det är känt är det möjligt att konstatera att eftersom det är det största heltalet vars kvadrat är mindre än eller lika med. Skriv i den övre kvadranten - detta kommer att bli den första rutan i resultatet. Skriv sedan (kvadrat av) i nedre högra kvadranten - detta värde kommer att vara viktigt för nästa steg.

3. 

   Subtrahera det nyligen beräknade parnumret till vänster. Som i den långa uppdelningen är nästa steg att subtrahera kvadraten som hittades från den del som just har studerats. Skriv detta värde under den första delen och utför lämplig subtraktion, skriv svaret nedan.
   • I exemplet kommer en att placeras under den för att utföra subtraktionen. Svaret här kommer att vara lika med.

4. 

   Gå ner till nästa par. Flytta nästa del av studienumret nedåt och bredvid det subtraherade värdet du just hittade. Multiplicera sedan värdet längst upp till höger med och skriv svaret i den nedre högra kvadranten. Nu är det bara att separera ett utrymme för multiplikationsproblemet i nästa steg :.
   • I exemplet är nästa tillgängliga par. titta bara på den nära den nedre vänstra kvadranten. Multiplicera sedan värdet med och få det, så att. Skriv i det nedre högra hörnet följt av.

5. 

   Fyll i tomma ämnen i rätt kvadrant. Var och en av dem kommer nu att ha samma heltal. Det måste vara det största som gör att resultatet av multiplikationen till höger kan vara mindre än eller lika med det antal som nu finns till vänster.
   • I exemplet fyller du i blankorna med resultatet :. Detta är ett värde större än. På det sättet är det för stort, men det kommer förmodligen att göra det. Skriv tomt och fortsätt :. Det bekräftas att det uppfyller behovet eftersom, skriv sedan numret i den övre högra kvadranten.Detta är den andra rutan i kvadratroten av.

6. 

   Subtrahera det beräknade värdet från numret till vänster. Fortsätt subtrahera i samma stil som den långa uppdelningen. Ta resultatet av multiplikationsproblemet i höger kvadrant och dra det från värdet som nu finns på vänster sida och placera ditt svar precis nedanför.
   • I exemplet kommer det att subtraheras från, vilket resulterar i.

7. 

   Upprepa steg 4. Bläddra ner till nästa del av numret vars kvadratrot beräknas. När du når komma, skriv ett decimal i svaret i övre högra kvadranten. Multiplicera sedan värdet högst upp till höger med och skriv operationen i vitt () som tidigare.
   • I exemplet, när komma nås, skriv det direkt efter det aktuella svaret uppe till höger. Flytta sedan ner nästa par () i den vänstra kvadranten. Genom att multiplicera med värdet längst upp till höger () får du - skriv i den nedre högra kvadranten.

8. 

   Upprepa steg 5 och 6. Hitta det största decimalvärdet som kan fylla i tomrummen till höger som ger ett resultat som är mindre än eller lika med antalet för närvarande till vänster. Gå bara vidare till problemet.
   • I exemplet ,, som är mindre än eller lika med siffran till vänster (). Observera att för högt kommer du till slutsatsen att det är svaret du letar efter. Skriv det som nästa decimal i den övre högra kvadranten och subtrahera resultatet av att multiplicera antalet till vänster :.

9. 

   Fortsätt att beräkna decimalerna. Släpp ett par nollor till vänster och upprepa Steg 4, 5 och 6. För ännu större precision, fortsätt att upprepa processen tills du hittar hundradelar, tusendelar och så vidare i ditt svar. Fortsätt bara i den här cykeln tills du når resultatet på önskad decimal.

Förstå processen

1. 

   Definiera numret vars kvadratrot kommer att beräknas som arean på en kvadrat. Eftersom detta område har en formel, där det representerar längden på en av dess sidor, när du försöker hitta kvadratroten av dess värde försöker du beräkna längden på kvadraten i fråga.

2. 

   Ange variablerna för varje decimal i ditt svar. Ställ in variabeln som första decimal för (kvadratroten beräknas), vara den andra, vara den tredje, och så vidare.

3. 

   Tilldela alfabetiska variabler till varje del av startnumret. Associera variabeln med det första paret decimaler i (initialvärde), det andra paret decimaler och så vidare.

4. 

   Förstå sambandet mellan denna metod och den långa uppdelningen. Detta sätt att beräkna kvadratroten är i grunden ett problem med lång uppdelning som delar startnumret med dess kvadratrot, ger dess kvadratrot som svar. Som med långa uppdelningsproblem, där intresset riktas till en decimal åt gången, bör du här fokusera på två åt gången (som motsvarar nästa kvadratrot decimal).

5. 

   Hitta det största antalet vars kvadrat är mindre än eller lika med. Den första decimalen i svaret representerar det största heltalet vars kvadrat inte överstiger (så). I exemplet, och, så att.
   • I ett exempel, om du vill dela med hjälp av långdelningsmetoden, skulle det första steget vara liknande: du bör leta efter den första siffran () och hitta det största heltalet som, när det multipliceras med, skulle resultera i något mindre än eller lika med. I grund och botten handlar det om att hitta det sättet. I det här fallet skulle det vara lika med.

6. 

   Visualisera rutan vars yta du vill beräkna. Svaret, som är kvadratroten till startnumret, kommer att representeras av, som beskriver längden på ett areakvadrat (startnummer). Värdena för och representerar decimalerna i. Ett annat sätt att sätta denna definition är att säga att i fallet med ett svar med två decimaler, i fallet med ett svar med tre decimaler och så vidare.
   • I exemplet ,. Kom ihåg att det representerar svaret med i enheterna och i tiotalet. Ta och som ett exempel kommer det att resultera i antalet. Om den representerar kvadratytan representerar den arean för den största inre kvadraten, representerar arean för den minsta inre kvadraten och representerar området för var och en av de återstående rektanglarna. När du utför den här långa och komplicerade processen kommer du att ha hela kvadratområdet till hands, bara lägga till de områden som beräknats från rutorna och rektanglarna inuti.

7. 

   Subtrahera från. Släpp ett par () decimaler. Uttrycket representerar nästan hela torget, från vilket det största inre torget subtraherades. Resten kan i sin tur representeras av den som erhålls i Steg 4 (i exemplet ovan). Här, (arean för båda rektanglarna plus arean för den minsta kvadraten).

8. 

   Leta efter, även skrivet som. I exemplet vet du redan () och (), och det är nu nödvändigt att beräkna värdet på. Det kommer förmodligen inte att vara ett heltal, så du måste verkligen beräkna den största helhetsmöjligheten som uppfyller villkoret. Slutligen kommer du att sitta kvar med.

9. 

   Lös åtgärden. För att fortsätta, multiplicera med, ändra positionen för tiotalet (motsvarande att multiplicera värdet med), placera det i positionen för enheterna och multiplicera resultatet med. Med andra ord, utför bara operationen. Det är detsamma som när man skriver (är) i den nedre högra kvadranten som finns i Steg 4. Redan inne Steg 5i sin tur hittar du det största heltalsvärdet som passar i det tomma utrymmet som uppfyller villkoret.

10. 

    Subtrahera området från det totala området. Detta resulterar i att det område som hittills har bortses från (och som kommer att användas för att beräkna nästa rutor på liknande sätt).

11. 

    För att beräkna nästa decimal, upprepar du bara processen. Bläddra ner till nästa par () för att komma till vänster och leta efter det högsta värdet som uppfyller villkoret (motsvarar att skriva två gånger värdet med två decimaler åtföljd av. Sök efter högsta möjliga decimalvärde i blankorna som ger ett resultat som är mindre än eller lika med, som tidigare.

Tips

• Denna metod fungerar med valfri bas - inte bara basen (decimal).
• I exemplet kan en "vila" övervägas:
  
• En alternativ metod som använder kontinuerliga fraktioner följer denna formel:
  
  I ett exempel, för att beräkna kvadratroten av, är det heltal vars kvadrat närmast matchar startnumret, så att, e. När du anger värdena i formeln och avrundar uppskattningen ger det redan resultatet (minimivärden) eller ungefär (). Nästa period är, eller ungefär (). Varje ytterligare term lägger till nästan tre decimaler med precision i förhållande till föregående försök.

Varningar

• Kom ihåg att separera decimalerna i par från komma. En åtskillnad av hur till exempel kommer att ge värdelösa resultat.