Innehåll

• Steg
• tips

För dem som har svårigheter med matematik kan se symbolen för en kvadratrot orsaka frossa. Men problem med denna operatör är inte så svåra som de verkar. Ibland kan enkla kvadratrotproblem vara lika enkelt som en enkel multiplikation eller delning. Å andra sidan kan mer komplicerade problem vara mer arbete. Fortfarande, med rätt tillvägagångssätt, kommer de alla att se lätta ut. Börja träna kvadratrotproblem nu och lära dig den här nya matematiska färdigheten radikal!

Steg

Del 1 av 3: Förstå konceptet kvadratiska och fyrkantiga rötter

1. 

   Innan du förstår kvadratrötter, först förstå vad kvadratet för ett nummer är. Det är lätt att förstå. För att kvadrera ett nummer, multiplicera det bara med sig själv. Till exempel är 3 kvadrat samma som 3 × 3 = 9, och 9 kvadrat är samma som 9 × 9 = 81. Kvadraterna betecknas med en liten "2" på den övre högra sidan av antalet som ska höjas, så här: 3, 9, 100 och så vidare.
   • För att öva konceptet, försök att kvadratera några fler nummer. Kom ihåg att kvadrera ett nummer helt enkelt multiplicerar det med sig själv. Du kan göra detta även med negativa siffror, men kom ihåg att i det här fallet alltid kommer svaret att vara positivt. Till exempel -8 = -8 × -8 = 64.

2. 

   
   
   För att hitta kvadratroten, hitta "invers" av förstärkningen. Rotsymbolen (√, även kallad "radikal") betyder i princip det motsatta av symbolen. När du ser en radikal, fråga dig själv, "Vilket nummer kan jag multiplicera med sig själv så att resultatet är antalet inom radikalen?" Till exempel, när du ser √ (9), försök att hitta antalet som, kvadrat, lika med 9. I detta fall kommer svaret att vara treeftersom 3 = 9.
   • Ett annat exempel: låt oss hitta kvadratroten av 25 (√ (25)). Detta innebär att vi måste hitta antalet som, kvadrat, är lika med 25. Eftersom 5 = 5 × 5 = 25, kan vi säga att √ (25) = 5.
   • Du kan också tänka på den här operationen som ett sätt att "ångra" en kvadratisk höjd. Om vi ​​till exempel måste hitta √ (64), kvadratroten 64, bör vi tänka på 64 som 8. Eftersom kvadratroten i princip "avbryter" en kvadratisk höjd kan vi säga att √ (64) = √ (8) = 8.

3. 

   
   
   Förstå skillnaden mellan perfekta kvadratnummer och ofullständiga kvadratnummer. Hittills har svaren på våra kvadratrotproblem varit hela siffror. Det kommer inte alltid att hända. I själva verket kan resultatet av en strålningsoperation ibland resultera i långa, komplicerade decimaler. Om roten till ett nummer är ett heltal, det vill säga om det inte är en bråk eller decimal kommer det att kallas perfekt fyrkant. Alla exemplen som visas ovan (9, 25 och 64) är perfekta rutor eftersom deras rötter är heltal (3, 5 respektive 8).
   • Å andra sidan kallas nummer vars rötter inte är helt ofullkomliga rutor. När vi beräknar roten till ett av dessa nummer kommer vi att få ett resultat som vanligtvis är en bråk eller en decimal. Ibland kan de berörda decimalerna vara ganska komplicerade, som i exemplet: √ (13) = 3,605551275464...

4. 

   
   
   Memorera åtminstone de första 12 perfekta rutorna. Som vi har visat kan det vara mycket enkelt att beräkna kvadratroten till ett nummer! Så det är viktigt att ta sig tid att memorera kvadratrötterna på de första dussin perfekta rutorna. De tenderar att visas mycket på tester, så att memorera dem kan spara mycket tid. De 12 första perfekta rutorna är:
   • 1 = 1 × 1 = 1
   • 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 = 3 × 3 = 9
   • 4 = 4 × 4 = 16
   • 5 = 5 × 5 = 25
   • 6 = 6 × 6 = 36
   • 7 = 7 × 7 = 49
   • 8 = 8 × 8 = 64
   • 9 = 9 × 9 = 81
   • 10 = 10 × 10 = 100
   • 11 = 11 × 11 = 121
   • 12 = 12 × 12 = 144

5. 

   Förenkla när det är möjligt genom att ta bort de perfekta rutorna. Att hitta kvadratroten av ofullständiga rutor kan vara ganska svårt, särskilt om det inte finns någon räknare tillgänglig (i avsnitten nedan lär du dig trick för att förenkla processen). Det är dock ibland möjligt att förenkla siffrorna i roten för att underlätta beräkningarna. Dela bara antalet inuti roten i faktorer, beräkna sedan roten till de faktorer som är perfekta rutor och skriv svaret utanför radikalen. Detta är lättare än det ser ut. Se nedan för att förstå bättre!
   • Låt oss säga att du måste hitta roten till 900. Ursprungligen verkar det vara en ganska svår uppgift! Allt är mycket lättare om vi delar upp 900 i faktorer. Faktorerna för ett tal "x" är en uppsättning siffror som, om de multipliceras, resulterar i "x". Vi kan till exempel få 6 genom att multiplicera 1 × 6 och 2 × 3, så faktorerna 6 är 1, 2, 3 och 6.
   • Istället för att arbeta med 900, vilket kan vara lite konstigt, låt oss istället skriva det som 9 × 100. Nu, eftersom 9, som är en perfekt kvadrat, är separerad från 100, kan vi beräkna dess kvadratrot. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). Det vill säga √ (900) = 3√(100).
   • Vi kan fortfarande förenkla två gånger till och dela 100 i faktorer 25 och 4. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. Så vi kan säga att √ (900) = 3 (10) = 30.

6. 

   Använd imaginära siffror för att beräkna roten till negativa siffror. Fråga dig själv, vilket antal som multipliceras med sig själv resulterar i -16? Det är inte 4 eller -4, eftersom kvadratet för dessa två siffror är 16. Bör vi ge upp? I själva verket finns det inget sätt att skriva kvadratroten av -16 eller något annat negativt nummer med bara verkliga siffror. I sådana fall måste vi använda imaginära siffror (vanligtvis i form av bokstäver eller symboler) för att ersätta kvadratroten till ett negativt tal. Variabeln "i" används till exempel för att beteckna kvadratroten -1. Som en allmän regel är roten till ett negativt nummer alltid (eller åtminstone inkluderar) ett imaginärt nummer.
   • Kom ihåg att även om imaginära nummer inte kan representeras av verkliga nummer kan de fortfarande behandlas som sådana på vissa sätt. Till exempel kommer roten till ett negativt tal "-x", om det är kvadrat, också "-x", precis som någon annan rot. Det vill säga, i = -1

Del 2 av 3: Använda långa uppdelningsliknande metoder

1. 

   Behandla kvadratrotproblemet som om det var en lång uppdelning. Trots att du är lite mödosam kan du hitta kvadratroten av komplicerade ofullständiga kvadratnummer utan att använda en kalkylator. Metoden (eller algoritmen) liknar (men inte samma) som den för långdelning. Den långa uppdelningen är den traditionella metoden som används för att beräkna uppdelningar för hand.
   • Börja med den ursprungliga positioneringen av problemet, vilket kommer att likna det för den långa divisionen. Låt oss till exempel säga att du måste hitta roten till 6.45, vilket definitivt inte är ett perfekt torg. Först skriver vi en kvadratrotsymbol (√) och sedan lägger vi vårt nummer in i den. Sedan måste vi skapa en linje från symbolen √ tills den täcker hela siffran och lämnar den i en ruta som liknar den där den långa divisionsdelaren är. Skillnaden är att här kommer svaret att ligga ovanför rutan, inte nedan, som i den traditionella divisionen. När vi är färdiga kommer vi att ha ett långsträckt "√" -skylt som täcker hela antalet 6.45.
   • Låt oss skriva siffror på den här rutan, så lämna utrymme.

2. 

   Gruppera siffrorna i par. För att börja lösa problemet, gruppera siffrorna i siffran i stammen parvis, börja med decimalpunkten. Du kan göra små markeringar (som perioder, staplar, komma osv.) Mellan par för att separera dem.
   • I vårt exempel bör vi dela upp 6.45 i tre par, så här: 6-,45-00. Se att det finns en mindre siffra på vänster sida, det finns inga problem med det.

3. 

   Hitta det största antalet vars kvadrat är mindre än eller lika med värdet för den första "gruppen". Börja med det första numret på vänster sida. Välj det största antalet vars kvadrat är mindre än eller lika med "gruppen". Till exempel, om gruppen var 37, välj 6, eftersom 6 = 36 <37 men 7 = 49> 37. Skriv detta nummer ovanför den första gruppen. Detta är den första siffran i svaret.
   • I vårt exempel är den första gruppen i 6-, 45-00 6. Det första största antalet vars kvadrat är mindre än eller lika med 6 är 2, eftersom 2 = 4. Skriv "2" över de 6 som finns i radikalen.

4. 

   Titta på den första siffran i svaret (numret vi just hittade) och multiplicera det med två. Skriv nu resultatet under den första gruppen och utför en subtraktion för att hitta skillnaden. Bläddra sedan ner nästa nummer med par och lägg till dem till skillnaden vi just har hittat. Slutligen, skriv den sista siffran dubbla den första siffran i svaret på vänster sida och lämna ett utrymme bredvid det.
   • I vårt exempel skulle det första steget vara att hitta dubbelen av 2, som är den första siffran i svaret. 2 × 2 = 4. Då måste vi subtrahera 4 från 6 (vår första "grupp") och få 2 som ett svar. Nu måste vi gå till nästa grupp (45) för att få 245. Slutligen skriver vi 4 igen till vänster och lämnar ett litet tomt utrymme på höger sida, så här: 4_.

5. 

   Fyll i luckorna. Nu måste vi sätta en siffra i stället för det tomma utrymmet bredvid numret vi skriver till vänster. Välj den siffra som, multiplicerad med siffran till vänster med det tomma utrymmet ersatt av sig själv, har ett maximivärde, men mindre än antalet på höger sida. Detta kan verka lite komplicerat, så låt oss se några exempel att förstå. Om antalet som sjönk, det vill säga den på höger sida, är 1700 och antalet till höger är 40_, skulle vi fylla i blanketten med siffran 4, eftersom 404 × 4 = 1616 <1700 och 405 × 5 = 2025 Numret som hittas i detta steg kommer att vara den andra siffran i svaret, så du kan lägga till det ovanför stammsymbolen.
   • I vårt exempel måste vi hitta numret som ska fyllas i det tomma utrymmet i 4_ × _ som gör svaret så stort som möjligt, men mindre än eller lika med 245. I vårt fall är svaret 5eftersom 45 × 5 = 225 och 46 × 6 = 276.

6. 

   Fortsätt använda siffrorna som fyller i tomma ämnen för att skriva svaret. Fortsätt denna modifierade metod för lång delning tills du börjar få nollor genom att subtrahera antalet som kommer ner från radikalen eller tills du når den önskade precisionen. När du är klar kommer siffrorna som används för att fylla i tomma ämnen i varje steg (och, naturligtvis, det första numret vi använder), att utgöra svarssiffrorna.
   • Fortsätter vi vårt exempel skulle vi subtrahera 225 från 245 för att få 20. Sedan skulle vi gå ner i paret med siffrorna 00 för att få 2000. Genom att fördubbla siffrorna ovanför radikalen har vi 25 × 2 = 50. Genom att ställa in blankets nummer till 50_ × _ = / <2 000, vi får 3. Just nu har vi "253" om radikalen. Upprepar processen igen får vi en 9 som nästa siffra.

7. 

   Placera komma på rätt plats i svaret. För att avsluta svaret måste vi fortfarande placera decimalpunkten på rätt plats. Den här delen är lätt: sätt bara kommatecken i svaret i samma position som komma i numret i radikalen. Till exempel, om antalet inuti radikalen är 49,8, lägg bara komma i svaret på den plats som motsvarar den nedan, det vill säga mellan de två siffrorna över 9 och 8.
   • I vårt exempel är antalet inom radikalen 6,45. För att få svaret, placera bara komma mellan siffrorna som är över 6 och 4, som i detta fall är 2 respektive 5, för att få svaret: 2,539.

Del 3 av 3: snabbt uppskattning av ofullständiga rutor

1. 

   Hitta svaret genom en uppskattning. När du väl vet roten till några perfekta rutor kommer det att bli mycket lättare att hitta roten till ofullständiga rutor. I ett tidigare steg rekommenderar vi att memorera åtminstone de första tolv perfekta rutorna och deras rötter. Den goda nyheten är att vi kan använda uppskattningen för att få en approximation av roten till ett ofullständigt torg som är mellan två perfekta torg som vi känner till. För det måste vi hitta den första perfekta fyrkanten större än det önskade antalet och det sista mindre, så att det aktuella antalet ligger mellan de två. Sedan måste vi försöka ta reda på vilka av dessa två perfekta rutor som roten till önskat antal kommer närmast.
   • Anta till exempel att vi måste hitta kvadratroten på 40. Eftersom vi memorerar våra perfekta rutor kan vi säga att 40 är mellan 6 och 7, det vill säga mellan 36 och 49. Eftersom 40 är större än 6, kommer kvadratroten att vara större än 6. På samma sätt, eftersom det är mindre än 7, kommer dess rot att vara mindre än 7. 40 är lite närmare 36 än 49, så vårt svar kommer förmodligen att vara närmare 6. I nästa steg , kommer vi att öka noggrannheten i vår uppskattning.

2. 

   Öka precisionen till en decimal. När du hittat de två på varandra följande perfekta rutorna som bildar ett intervall som innehåller ditt nummer, försök bara öka uppskattningens noggrannhet till en punkt som du tycker är tillfredsställande. Ju fler försök att förbättra uppskattningen görs, desto större är noggrannheten. För att börja uppskatta värdet på den första decimalen. Denna uppskattning behöver inte vara korrekt, men att använda logik för att välja ett värde som sannolikt kommer att vara närmast svaret kommer att underlätta processen.
   • I vårt exempel kan en acceptabel uppskattning för kvadratroten på 40 vara 6,4, eftersom vi redan vet att svaret antagligen är lite närmare 6 än 7.

3. 

   Multiplicera uppskattningen med sig själv. Om du inte är mycket lycklig blir resultatet inte startnumret (40 i vårt exempel). Du måste justera uppskattningen för att komma närmare rätt svar.Om resultatet är över startnumret (det vill säga över 40), prova en lägre uppskattning. På samma sätt, om resultatet är under det önskade antalet, öka uppskattningen.
   • Multiplicera 6.4 för sig själv för att få 6.4 × 6.4 = 40,96, vilket är något högre än vårt ursprungliga nummer.
   • Eftersom vår uppskattning var precis över rätt värde, så låt oss minska det med en tiondel för att få 6,3 × 6,3 = 39,69. Nu blev resultatet lite mindre än vårt ursprungliga nummer. Detta betyder att roten till 40 är ett visst antal mellan 6,3 och 6,4. Eftersom 39,69 är närmare 40 än 40,96, vet vi att roten kommer att vara närmare 6,3, inte 6,4.

4. 

   Fortsätt att förbättra uppskattningen vid behov. Om du är nöjd med svaret använder du en av de första tillnärmningarna som en uppskattning. Men om du behöver ett mer exakt svar, försök bara att uppskatta andra decimal, att välja ett värde mellan de två föregående (det vill säga mellan 6,3 och 6,4). Med hjälp av denna metod kan vi uppskatta tre decimaler, fyra, fem och så vidare, beroende bara på den precision som krävs för svaret.
   • I vårt exempel kan vi välja 6.33 för att göra vår uppskattning till två decimaler. Multiplicera 6.33 med sig själv för att erhålla 6.33 × 6.33 = 40.0689. Eftersom detta resultat låg något över vårt initiala nummer, kan vi välja ett något lägre värde, till exempel 6,32. I detta fall 6,32 × 6,32 = 39,9424, ett resultat något under startnumret. Därför kan vi dra slutsatsen att den exakta roten till 40 är mellan 6.32 och 6.33. Om det behövs kan vi fortsätta denna metod för att få allt mer exakta tillnärmningar till roten till önskat antal.

tips

• Om du behöver en snabbkorrigering använder du en miniräknare. De flesta moderna kalkylatorer kan beräkna kvadratiska rötter direkt. I allmänhet skriver du bara valfritt nummer och trycker på knappen med fyrkantsrotsymbolen. För att hitta roten till 841, till exempel, tryck bara på 8, 4, 1 och sedan (√) för att få svaret: 39.